1. Mi az a másodfokú egyenlet?
A másodfokú egyenlet általános alakja ax² + bx + c = 0, ahol a, b, c valós számok, és a ≠ 0. Az ismeretlen legmagasabb kitevője 2. Ha a = 0 lenne, az egyenlet már nem másodfokú.
Az egyenlet gyökei azok az x értékek, amelyek behelyettesítésekor a bal oldal valóban nulla lesz.
2. Mit árul el a diszkrimináns?
Először kiszámítjuk a D = b² − 4ac értéket. Ezt nevezzük diszkriminánsnak. Megmutatja, hány különböző valós gyök várható.
Ha D ≥ 0, a gyököket a x = (−b ± √D) / (2a) képlettel számoljuk.
3. Teljesen kidolgozott példa
Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
- Azonosítsuk az együtthatókat. A standard alakkal összevetve: a = 2, b = −7, c = 3. A b előjele negatív; ez fontos a behelyettesítéskor.
- Számoljuk ki a diszkriminánst. D = (−7)² − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25. Mivel 25 pozitív, két különböző valós megoldás lesz.
- Írjuk fel a megoldóképletet. x = (7 ± √25) / 4 = (7 ± 5) / 4. Figyeld meg: −b = −(−7) = 7.
- Számoljuk ki külön a két gyököt. x₁ = (7 + 5)/4 = 3, valamint x₂ = (7 − 5)/4 = 1/2.
- Ellenőrizzük a megoldásokat. x = 3: 2 · 9 − 7 · 3 + 3 = 0. x = 1/2: 2 · 1/4 − 7/2 + 3 = 0. Mindkettő helyes.
4. Gyakori hibák – és hogyan kerüld el őket
- Előjelhiba: ha b negatív, akkor −b pozitív lesz.
- Rossz nevező: a képlet nevezője 2a, nem csak a.
- Négyzetre emelés: (−7)² = 49, mert a negatív szám négyzete pozitív.
- Ellenőrzés kihagyása: legalább egy gyors behelyettesítés segít felfedezni a számolási hibákat.
5. Most próbáld meg önállóan!
Oldd meg a következő egyenletet a megoldóképlettel:
Megoldás és ellenőrzés megtekintése
a = 1, b = −5, c = 6. A diszkrimináns D = 25 − 24 = 1, ezért x = (5 ± 1)/2. Innen x₁ = 3, x₂ = 2. Ellenőrzés: 9 − 15 + 6 = 0 és 4 − 10 + 6 = 0.
Nem elég a képlet. Értsd a lépéseket is!
Ha a megoldás menete már világos, a következő lépés a gyakorlás és a tudás megerősítése.